問題提起：(円周の長さ)＝2πrは公式か？

今回は数学教育についての問題提起的な内容です。

とある中学1年生の数学の教科書では、(円周の長さ)＝2πr（π：円周率, r：半径）を公式として載せていました。個人的に、これは公式とは言えない、というか公式と呼ぶべきでないと思います。(円の面積)＝πr^2は、まぎれもなく公式ですが。円周の長さの方は、公式と言うか円周率πの定義から直ちに導かれるものです。中学生や高校生に「円周率って何？」と聞くと、たいてい「π」や「3.14」など値や記号などを答える人がほとんどで、「じゃあその3.14っていう数字は何が3.14なの？」と聞くと正確に答えられない人が残念ながら多いです。円周率の定義から円周の長さが2πrと表されることを納得せずこの式を使って求めているのであれば、これは「数学」ではなく単なる「計算」です。確かに、円の面積の方は、中学校段階では導けるものではないですし、試験問題を解くうえではこの公式を覚えておくことが妥当でしょう。

このように、「学習段階的に導けないもの」や「導くには時間がかかるもの」の定理・公式は、試験を解くために覚えなくてはなりません。ところが、教科書・参考書などを見ると、覚えなくてはならない公式と考えればすぐに分かる式（公式（円順列の総数の式）、定義から導かれる式（円周の長さの公式）問わず）を同じように載せているものがほとんどな気がします。よく、参考書の表紙の裏側に、公式集などを載せていますよね・・・これって、初学者にとってはとても不親切だと思うんです。この話はよく自分が大学生で塾のアルバイトをしていた時に言い、「ここに書いてる公式以外は覚えないで！」と本当に覚えてほしい公式だけを抜粋した公式集を作って渡していました。

以上をまとめると、

・定義は確実に理解する、覚える

・定理・公式は覚えるものを極力少なくする

ことが大切で、参考書などはこのことを意識して作る必要があると思います。理解できないものがあると、覚えて乗り越えようとするのが人間です。しかし、理解できないから覚えてしまおうという姿勢では、数学の力は当然身につきませんし、そもそも数学ではありません。私自身も、中3の頃に数検2級をとりましたが、対策本ではとにかく要点のみが書かれていて、理解せず暗記でカバーした経験があります。数学を教えていく中で、上の2点は強く意識していますが、これらをうまく表現できるよう、日々勉強していきたいと思います。

p.s.　「定理・公式は覚えるものを極力少なく」と言いましたが、中学・高校数学において「すぐに導けるもの」が「覚えなくてよいもの」であるかというと、そうとは限りません。つまり、「導けるけど覚えなくてはならないもの」もあります。因数分解の公式や2倍角の公式は良い例です。x^2－y^2＝(x＋y)(x－y)について、右辺から左辺は導くことが出来ます。ところが、左辺から右辺に変形するためには、この公式を覚えている必要があります（因数定理を考えれば話は別ですが）。